Laboratorio 2 Problema del libro

Se selecciono el problema Problema B.2.15 

$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$

Resolviendo con Octave

[R,P,K]=residue(num,den) 

http://roberto-mtz.blogspot.mx/search/label/Automatizaci%C3%B3n%20y%20control%20de%20sistemas%20din%C3%A1micos

Vamos a calcular la descomposición de factores simples del cociente numerador entre el denominador

R = Residuos
P = Polos
K = Cociente

1.-Resolver por fracciones parciales usando Matlab en este caso se uso Octave
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Sustituimos cada valor obtenido por octave en la ecuación:

   

Mas adelante comprobaremos los resultados 

2.-Transformada inversa de Laplace de F(s)

Para resolverlo usaremos las tablas del libro  Ingeniería de control moderna solo es de sustituir :

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$

Vamos Hacerlo paso por paso:

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$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$

Se va a descomponer por fracciones parciales

$\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }=\frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}$

Se multiplica cada uno de las fracciones por :

$y(y+2)(y-3)$

El resultado seria:
$y(y+2)(y-3)\left [ \frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}\right ]$

Despues

$A(y+2)(y-3)+By(y-3)+Cy(y+2)=4y2-7y+12$

$A(y^{2}-3y+2y-6)+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$Ay^{2}-3Ay+2Ay-6A+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$y^{2}(A+B+C)-Ay-3By+Cy^{2}+2Cy-6A=4y^{2}-7y+12$



Buscamos los valores:

A+B+C=4
-A-3B+2C=-7
-6A=12
A=12/6
A=-2
Por lo que el valor de A vale -2

Multiplicamos para eliminar una variable del sistema de ecuaciones:
3(A+B+C)=3(4)
3A+3B+3C=12
-3A-3B+2C=-7
2A+5C=5
5C=5-2(-2)
C=9/5
Por lo que el valor de C vale 1.8

B=4-C-A
B=4-(1.8)-(-2)
b=4.2
Por lo que el valor de b vale 4.2

Sustituyendo los valores obtenemos los mismos valores que nos dio octave:
A=-2
B=1.8
C=4.2
$F(s) =\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}$

Transformada Inversa de Laplace:

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$

Se uso un Script para Blogger para escribir las ecuaciones enLaTeX realice un tutorial lo pueden encontrar en mi blog es facil de usar.

Referencias.
Ingeniería de Control Moderna:
http://books.google.com.mx/books/about/Ingenier%C3%ADa_de_Control_Moderna.html?id=QK148EPC_m0C&redir_esc=y
http://roberto-mtz.blogspot.mx/