automatizacion

martes, 16 de octubre de 2012

LAB 4

Se selecciono el problema 5.10 :

Haciendo referencia al sistema mostrado en la figura 5-84, determinar los valores de K y k tal que el sistema tiene un coeficiente de amortiguamiento de 0,7 y 5 una frecuencia natural no amortiguada de 4 rad / seg.

http://books.google.com.mx/books/about/Ingenier%C3%ADa_de_Control_Moderna.html?id=QK148EPC_m0C&redir_esc=y

Resolviendolo:

$\frac{C(S)}{R(S)}=\frac{k}{s^{2}+25+Kks+k}$

Se tienen en cuenta que :

Usamos la formula:

$K=\omega^{2} _{n}$

Sustituimos:
$K=4^{2}=16$

desde:

25Wn = 2+Kk

despues donde se obtiene

$2*0.7*4=2+Kk=2+16k$

2*0.7*4/25=0.2

el resultado es : =

k= 0.25

http://www.amazon.com/Ingenieria-Control-Moderna-Spanish-Edition/dp/9701700481

martes, 18 de septiembre de 2012

[Lab 3 ] Diagrama de Flujo de Señales

Se selecciono un ejercicio del libro de Ingeniería de control moderna de Ogata 4 Ed. entonces el ejercicio dice que tenemos que obtener la transferencia :

$\frac{y(x)}{x(s)}$ del sistema mostrado a continuación:

Figura 3-92

Vamos a comenzar primero analizamos el sistema y se puede observar que existen 2 caminos entre la entrada y la salida

$\frac{y(x)}{x(s)}$
$p_{1}=\frac{b_{2}}{s^{2}}= \frac{1}{s}\frac{1}{s}b_{2}$
$p_{2}=\frac{b_{1}}{s}=\frac{1}{s}b_{1}$ Ahora determinamos los lazos que existen en el sistema.
$L_{1}=-\frac{a_{1}}{s}$
$L_{2}=-\frac{a_{2}}{s_{2}}$ Se tiene que obtener el determinante Δ ,se realiza una suma:
$\Delta =1-(L_{1}+L_{2})$ se sustituyen las variables en la ecuaciones:
$\Delta =1-(\frac{a_{1}}{s}+\frac{a_{2}}{s_{2}})$
$\Delta =\frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}$ Entonces:
$\Delta a_{1}=1 , \Delta a_{2}=1$ Usamos la Fórmula de Mason para obtener y(s)/x(s)

http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/flujo.pdf

se obtiene la función de transferencia :

$\frac{y(s)}{x(s)}=\frac{1}{\Delta }(P_{1}\Delta _{1}+P_{2}\Delta_{2})$

$ \frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}$

$\frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}\left ( \frac{b_{2} }{s^{2}}+ \frac{b_{1}}{s}\right)$ y se obtiene el resultado:

$\frac {b_{1}s+b_{2}}{s^2+a_{1}s+a_{2}}$ http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/flujo.pdf Ingeniería de Control Moderna - Katsuhiko Ogata

jueves, 6 de septiembre de 2012

Instalar LaTeX en Blogger

$\mathbf{L\!\!^{{}_{\scriptstyle A}} \!\!\!\!\!\;\; T\!_{\displaystyle E} \! X}$ (escrito LaTeX en texto llano) es un sistema de composición de textos, orientado especialmente a la creación de libros, documentos científicos y técnicos que contengan fórmulas matemáticas.

LaTeX está formado por un gran conjunto de macros de TeX, escrito por Leslie Lamport en 1984, con la intención de facilitar el uso del lenguaje de composición tipográfica, $\mathbf{T\!_{\displaystyle E} \! X}$ , creado por Donald Knuth. Es muy utilizado para la composición de artículos académicos, tesis y libros técnicos, dado que la calidad tipográfica de los documentos realizados con LaTeX es comparable a la de una editorial científica de primera línea.

Lo primero que tenemos que hacer es :

Nos vamos a Diseño

Seleccionamos Edicion HTML y vamos a continuar

Pegamos el siguiente codigo despues de <head> se muestra en la imagen

-----------Para Ingresar ecuaciones en latex solo hay que poner "$"

Ejemplo:

$\tan \left ( x \right )$

Ejemplo 2

$\dfrac {2x^{2}} {4}$

Laboratorio 2 Problema del libro

Se selecciono el problema Problema B.2.15

$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$

Resolviendo con Octave

[R,P,K]=residue(num,den)

http://roberto-mtz.blogspot.mx/search/label/Automatizaci%C3%B3n%20y%20control%20de%20sistemas%20din%C3%A1micos

Vamos a calcular la descomposición de factores simples del cociente numerador entre el denominador

R = Residuos
P = Polos
K = Cociente

1.-Resolver por fracciones parciales usando Matlab en este caso se uso Octave
----

Sustituimos cada valor obtenido por octave en la ecuación:

Mas adelante comprobaremos los resultados

2.-Transformada inversa de Laplace de F(s)

Para resolverlo usaremos las tablas del libro Ingeniería de control moderna solo es de sustituir :

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$

Vamos Hacerlo paso por paso:

--------------------------------

$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$

Se va a descomponer por fracciones parciales

$\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }=\frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}$

Se multiplica cada uno de las fracciones por :

$y(y+2)(y-3)$

El resultado seria:
$y(y+2)(y-3)\left [ \frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}\right ]$

Despues

$A(y+2)(y-3)+By(y-3)+Cy(y+2)=4y2-7y+12$

$A(y^{2}-3y+2y-6)+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$Ay^{2}-3Ay+2Ay-6A+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$y^{2}(A+B+C)-Ay-3By+Cy^{2}+2Cy-6A=4y^{2}-7y+12$

Buscamos los valores:

A+B+C=4
-A-3B+2C=-7
-6A=12
A=12/6
A=-2
Por lo que el valor de A vale -2

Multiplicamos para eliminar una variable del sistema de ecuaciones:
3(A+B+C)=3(4)
3A+3B+3C=12
-3A-3B+2C=-7
2A+5C=5
5C=5-2(-2)
C=9/5
Por lo que el valor de C vale 1.8

B=4-C-A
B=4-(1.8)-(-2)
b=4.2
Por lo que el valor de b vale 4.2

Sustituyendo los valores obtenemos los mismos valores que nos dio octave:
A=-2
B=1.8
C=4.2
$F(s) =\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}$

Transformada Inversa de Laplace:

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$

Se uso un Script para Blogger para escribir las ecuaciones enLaTeX realice un tutorial lo pueden encontrar en mi blog es facil de usar.

Referencias.
Ingeniería de Control Moderna:
http://books.google.com.mx/books/about/Ingenier%C3%ADa_de_Control_Moderna.html?id=QK148EPC_m0C&redir_esc=y
http://roberto-mtz.blogspot.mx/

jueves, 23 de agosto de 2012

Interpolación

¿ Que es Interpolación ?

El concepto de interpolación surge, por ejemplo, cuando disponemos de datos que provienen de mediciones experimentales o estadísticos, puesto que queremos determinar la evolución general de estos datos con el objetivo de estimar/predecir los valores que no conocemos.

Por ejemplo, esto ocurre si tenemos partes de una imagen fotográfica y queremos reconstruir la imagen completa. En otras palabras, buscamos una función (llamada función interpolante) que toma valores predeterminados en algunos puntos. Notemos que otra aplicación de la interpolación es la aproximación de funciones dadas.

Aplicaciones :

Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos
Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera facil una función
Remplaza funciones complicadas por una sencilla

Funciones utilizadas como interpoladores :

polinomios
Funcion Trigonométricas
Funciones Exponenciales
Funciones Racionales

Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi) algunas veces se presentan problemas cuando los datos tienen errores significativos

cuando se tiene "incestidumbre en los datos es utili suavisarlos mediante una aproximacion de cuadrados

Polinomio Interpolador

Teorema:

Six0,x1,...,xn son números reales distintos, entonces para N+1 valores arbitrarios y0 , y1 , . . . , yn existe un unico polinomio PN de grado a lo sumo N tal que

pN (xi) = yi

En otros términos:

Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo una lınea recta (polinomio de grado 1).

Dada una tabla de datos

existe uno y solo un polinomio pN de grado ≤ N tal que pN (xi) = yi

Aunque el polinomio es unico existen varias formas de expresarlo y diferentes algoritmos para determinarlo

Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0,x1,··· ,xN} con los valores correspondientes {f(x0),f(x1),··· ,f(xN)}

Construimos una funcion f(x) que pase por (xi,f(xi)) por medio de la aproximacion

pN es el polinomio interpolante
φk son polinomios conocidos a priori y forman una “base”
ak son coeficientes por determinar
la formula expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk

Consideramos como bases los monomios:

Podemos obtener el polinomio interpolador resolviendo un sistema de ecua- ciones lineales2 . Consideremos n + 1 puntos con abscisas distintas, y sea

se pueden expresar matricialmente como :

V es la matriz de Vandermonde y det(V)

La matriz de coeficientes del sistema se denomina matriz de Vandermonde asociada a los puntos x0,x1,...,xn. Se trata de una matriz cuadrada de orden n + 1 con la siguiente estructura

Ejemplo 1

Consideremos la tabla de valores

La matriz de Vandermonde correspondiente a las abscisas

El polinomio interpolador de la tabla es un polinomio de grado ≤ 3

Los coeficientes aj pueden obtenerse resolviendo el sistema

Como solución obtenemos

a0 =4, a1 =−17/6, a2 =−7/2, a3 =7/3.

El polinomio interpolador es, por tanto

Interpolación Lagrange

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por:

Propiedades

Lk es un polinomio de grado N

El polinomio de interpolación de Lagrange esta dado por:

Ejemplo Interpolación de Lagrange:

Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) = puntos Xo = 2 , X1 = 2.5 , X2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3)

Solución:

Aproximación

Interpolación Newton

El polinomio de interpolacion de Newton de forma hacia adelante se puede determinar asumiendo la siguiente forma:

Pn(x)=c0 +c1(x−x0)+c2(x−x0)(x−x1)+···+cn(x−x0)···(x−xn−1) (5.21) donde los coeficientes ck, k = 0, . . . , n se determinan al cumplir con las restricciones Pn(xi) = yi, i = 0, . . . , n. Los coeficientes ck se pueden calcular en terminos de:

Diferencias finitas hacia adelante
Diferencias finitas hacia atras
Diferencias finitas centradas

Codigo:

Formula de diferencias divididas

Un libro donde viene enseñando sobre Metodos numéricos y Octave
http://softwarelibre.mes.edu.cu/index_html/centro-de-asistencia-tecnica/tutorial/metodos-numericos-con-octave/Metodos%20Numericos%20con%20Octave.pdf

Video de youtube interesante sobre interpolación
http://www.youtube.com/watch?v=0YrlNulNJCU

referencias de donde fue tomada la informacion
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_66.html#SEC310
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesN32001/Ascheri-Pizarro1/pag5.htm
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_12.html#SEC76
http://personales.ya.com/casanchi/mat/interpolacion01.pdf