Para esta semana se selecciono un problema del capitulo 11 del libro Ingenieria de control moderna de Ogata:
Vamos a analizar la observabilidad y controlabilidad del sistema:
El problema dice:
Considerar el sistema definido por:
$\begin{bmatrix} \dot{x} _{1}\\ \dot{x} _{2}\\ \dot{x} _{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0& 2 &0 \\ 0& 3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {x} _{1}\\ {x} _{2}\\ {x} _{3} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 &1\\ 1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \upsilon_{1} \\ \upsilon_{2}\\ \end{bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3} \end{bmatrix} $
Vamos a analizar la observabilidad y controlabilidad del sistema:
El problema dice:
Considerar el sistema definido por:
$\begin{bmatrix} \dot{x} _{1}\\ \dot{x} _{2}\\ \dot{x} _{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0& 2 &0 \\ 0& 3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {x} _{1}\\ {x} _{2}\\ {x} _{3} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 &1\\ 1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \upsilon_{1} \\ \upsilon_{2}\\ \end{bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3} \end{bmatrix} $
¿El sistema de estado es completamente controlable y observable por completo?
¿El sistema tiene una salida realmente controlable ?
Solucion:
Vamos a resolverlo usando Octave utilizaremos la funcion rank que lo que hace es proporcionar una estimación del número de filas linealmente independientes o columnas de una matriz completa.
Despues usaremos las formulas correspondientes
Observabilidad
Controlabilidad
El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad tiene un rango máximo
lo primero que haremos sera pasar los valores de la matriz a octave
A = [2 0 0;0 2 0 ;0 3 1];
B = [0 1;1 0;0 1];
C = [1 0 0;0 1 0];
D = [0 0;0 0];
Vamos a hacer los calculos.
rank([B A*B A^2*B])
rank([A'*C' A'^2*C'])
rank([C*B C*A*B C*A^2*B])
Lo que nos da octave:
Conclusion:
- A partir de las condiciones obtenidas por rank() anteriormente y las condiciones de las formulas, entonces concluimos que el sistema es completamente controlable, pero no al todo observable,
- Tiene una salida totalmente controlable la dimension del vector de salida es 2 en el sistema actual .
Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Observabilidad
Enlace
Bien; 15.
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